Question

已知a＞0，命题p：?x＞0，x+

a

x

≥2恒成立；命题q：?k∈R，直线kx-y+2=0与椭圆x²+

y2

a2

=1恒有公共点．问：是否存在正实数a，使得p∨q为真命题，p∧q为假命题？若存在，请求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．

解答：解：∵命题p：?x＞0，x+

a

x

≥2恒成立
∴要x+

a

x

≥2恒成立，应有2√a≥2
∴a的取值范围：a≥1
又∵命题q：?k∈R，直线kx-y+2=0与椭圆x²+

y2

a2

=1恒有公共点
∵对任意k，直线kx-y+2=0恒过定点（0，2）
∴要使直线kx-y+2=0与椭圆x²+

y2

a2

=1有公共点，（0，2）在椭圆内部
∴应有，

22

a2

+02≤1，
∴a的取值范围：a≥2
∵若p∨q为真命题，p∧q为假命题
∴p、q一真一假，
①p真q假，那么a的取值范围：

a≥1 a＜2 a＞0

②p假q真，那么a的取值范围：

a＜1 a≥2 a＞0

，
解得出a的取值范围：1≤a＜2
综上，存在1≤a＜2，使得p∨q为真命题，p∧q为假命题

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目