Question

【题目】已知在图1所示的梯形中，，于点，且.将梯形沿对折，使平面平面，如图2所示，连接，取的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，试确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；

（3）设，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在，且当点为的中点时，平面；（3）.

【解析】

（1）取的中点，根据等腰三角形性质得.再根据面面垂直性质定理得平面，即得，利用线面垂直判定定理得平面.由平几知识得四边形是平行四边形.即.从而可得平面.最后根据面面垂直判定定理得结论.（2）先判断点位置，再利用线面平行判定定理证明，(3)先根据面面垂直性质定理得线面垂直，即得锥体的高，再根据等积法以及锥体体积公式求结果.

解：（1）取的中点，连接，.

因为，所以.

因为平面平面，，平面平面，

所以平面，

又平面，

所以.

又，所以平面.①

因为，，

所以，.

因为，，所以，所以四边形是平行四边形.

所以.②

由①②，得平面.

又平面，所以平面平面.

（2）当点为的中点时，平面.

证明：连接，.

由为线段的中点，为线段的中点，

得.

又平面，平面.

所以平面.

（3）因为，所以到平面的距离等于点到平面的距离.

取的中点，连接，

则，且.

因为平面平面，，平面平面，

所以平面，所以平面.

所以 .