Question

13．甲、乙两人分别摇一个正方形骰子，骰子的每一面上分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，记骰子朝上的一面所标数字分别为两人的得分．
（1）若两人谁的得分高谁就获胜（若得分相同则为平局），求甲获胜的概率；
（2）若规定甲、乙两人的得分之和小于等于a（a∈[2，12]）时，甲就获胜，否则乙获胜．问当a取何值时，甲获胜的概率大于乙获胜的概率？

Answer 1

分析 （1）用（x，y）（x表示甲的得分，y表示乙的得分）表示甲、乙各摇一骰子构成的基本事件，利用列举法能求出甲获胜的概率．
（2）记“甲获胜”为事件B，“乙获胜”为事件C．分别利用列举法求出a=6和a=7时，甲获胜的概率和乙获胜的概率，从而得到当a=7，8，9，10，11，12时，甲获胜的概率大于乙获胜的概率．

解答 解：（1）用（x，y）（x表示甲的得分，y表示乙的得分）表示甲、乙各摇一骰子构成的基本事件，
则基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），
（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），
（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个；       …（2分）
记“甲获胜”为事件A，则事件A包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），
（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），
（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共有15个，…（4分）
则$P（A）=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$．…（6分）
（2）记“甲获胜”为事件B，“乙获胜”为事件C．
当a=6时，事件B所包含的基本事件有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1），共有15个，
则$P（B）=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$．所以$P（C）=1-P（B）=\frac{7}{12}$．所以P（B）＜P（C）；…（8分）
当a=7时，事件B所包含的基本事件有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），
（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（6，1），共有21个，
则$P（B）=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$．所以$P（C）=1-P（B）=\frac{5}{12}$．所以P（B）＞P（C）；…（10分）
当a的值越大，“甲获胜”的概率也就越大，
所以当a=7，8，9，10，11，12时，甲获胜的概率大于乙获胜的概率．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．