Question

下面有五个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是4π；
②在△ABC中，若“A＞B”，则“sinA＞sinB”；
③若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

π

2

；
④把函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

得到y=3sin2x的图象；
⑤函数y=sin（x-

π

2

）在（0，π）上是减函数
其中正确命题的序号是

②③④

答案．

Answer 1

分析：①利用诱导公式可将y=sin⁴x-cos⁴x化为y=-cos2x，可求出其周期，从而可判断出①的真假．
②在△ABC中，由A＞B，可得到cos

A+B

2

＞0，sin

A-B

2

＞0，再化sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

，故可判断出②真假．
③利用诱导公式得sinβ=cos（

π

2

-β），再利用余弦函数y=cosx在区间[0，

π

2

]上单调递减，即可判断出③的真假．
④利用平移变换的法则“对自变量x左加右减”可得平移后的表达式，进而可判断出．
⑤由已知0＜x＜π，可得-

π

2

＜x-

π

2

＜

π

2

，进而可判断出y=sin（x-

π

2

）在区间（0，π）上的单调性，可判断出⑤的真假．

解答：解：①∵y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）=-cos2x，∴T=

2π

2

=π．∴函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是 π．故①假命题．
②在△ABC中，∵0＜B＜A＜π，∴0＜A+B＜π，0＜A-B＜π，∴0＜

A+B

2

＜

π

2

，0＜

A-B

2

＜

π

2

，∴0＜cos

A+B

2

＜1，0＜sin

A-B

2

＜1，
∴sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

＞0，∴sinA＞sinB．故②正确．
③∵cosα＞sinβ，∴cosα＞cos（

π

2

-β），∵α、β是锐角，∴0＜α＜

π

2

，，0＜β＜

π

2

，∴0＜

π

2

-β＜

π

2

，
又∵y=cosx在区间[0，

π

2

]上单调递减，∴α＜

π

2

-β，∴α+β＜

π

2

，故③正确．
④把函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

得到 y=3sin[2(x-

π

6

)+

π

3

]=3sin2x的图象，故④正确．
⑤∵0＜x＜π，∴-

π

2

＜x-

π

2

＜

π

2

，∴y=sin（x-

π

2

）在区间（0，π）上单调递增，故⑤是假命题．
综上可知：正确命题的序号是②③④．
故答案是②③④．

点评：本题综合考查了三角函数的图象与性质，熟练掌握三角函数的图象与性质是正确做好本题的关键．