Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足

BF1

=

F1F2

，且AB⊥AF2． 
（I）求椭圆C的离心率；
（II）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线x-

3

y-3=0相切，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（I）求出左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A的坐标，通过

BF1

=

F1F2

，且AB⊥AF2，推出a，b，c的关系，结合a²=b²+c²，即可求椭圆C的离心率；
（II）利用（I）求出过A、B、F₂三点的圆的圆心与半径，利用圆与直线x-

3

y-3=0相切圆心到直线的距离等于半径，求出a，b，即可求椭圆C的方程．

解答：解：（I）由题意可知，F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b），求椭圆C的离心率；
∵

BF1

=

F1F2

，可知F₁为BF₂的中点．
又AB⊥AF₂，
∴Rt△ABF₂中，BF₂²=AB₂+AF₂²，
(4c)2=(

9c2+b2

)2+a2，
又a²=b²+c²，
∴a=2c．
故椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

．
（II）由（I）知，

c

a

=

1

2

，c=

1

2

a，于是F₂（

1

2

a，0），B（-

3a

2

，0），
RtABF₂的外接圆圆心为F₁（-

1

2

a，0），半径为r=a，
圆与直线x-

3

y-3=0相切，
∴

|- 1 2 a-3|

2

=a，解得a=2，∴c=1，b=

3

．
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题是中档题，考查椭圆离心率的求法，椭圆的标准方程的求法，直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用．