Question

已知正四棱锥的底面边长为2a，其左视图如图所示．当主视图的面积最大时，该四棱锥的体积和表面积分别为（　　）

• A．

  4 2

  3

  ，8
• B．

  8 2

  3

  ，8+8

  2

• C．

  4 2

  3

  ，8+8

  2

• D．4

  2，

  8

  2

Answer 1

分析：根据左视图准确还原几何体，求出a和h的关系，再确定出主视图的形状，表示出主视图的面积，由基本不等式求出最大值以及对应的a和h的值，代入棱锥的体积公式和表面积公式求解．

解答：解：由题意画出四棱锥如图：其主视图和左视图相同，
由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2a，
设高PO=h，则四棱锥的斜高PE=2，
∴a²+h²=4，
则主视图的面积S=

1

2

×2a×h=ah≤

a2+h2

2

=2，
当且仅当a=h=

2

时取等号，此时S最大．
∴四棱锥的体积V=

1

3

×(2a)2×h=

8 2

3

，
表面积S=（2a）²+4×

1

2

×2a×2=8+8

2

，
故选B．

点评：本题主要考查由三视图求面积、体积，以及基本不等式求出最值，求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等性质，熟练掌握各种类型的几何体求体积和表面积的公式．