Question

8．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，向量$\overrightarrow a=（{a_n}-1，-2），\overrightarrow b=（4，{S_n}）$满足$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则a₂₀₁₅=2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 通过$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$可知数量积为0，进而可知S_n=2a_n-2，当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1计算可知a_n=2a_n-1，进而可知数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
∴（a_n-1，-2）•（4，S_n）=0，即4a_n-4-2S_n=0，
整理得：S_n=2a_n-2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）
=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1，
又∵a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a₂₀₁₅=2²⁰¹⁵，
故答案为：2²⁰¹⁵．

点评 本题考查数列的通项，考查向量数量积运算的坐标表示，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．