Question

已知函数f（x）定义在R上，对任意实数x有f（x+4）=-f（x）+2

2

，若函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，f（-1）=2，则f（2013）=（　　）

• A、-2+2

  2

• B、2+2

  2

• C、2-2

  2

• D、2

Answer 1

分析：依题意，可求得f（-x）=f（x），且f（x+4）+f（x）=2

2

，又f（-1）=2，经计算得到规律：f（5）=f（13）=f（21）=…=f（5+8n）=2

2

-2，从而可求f（2013）的值．

解答：解：∵y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，向左平移1个单位，得y=f（x）图象关于y轴对称，
即f（-x）=f（x），
又f（x+4）=-f（x）+2

2

，
∴f（x+4）+f（x）=2

2

，
∵f（-1）=2，f（-x）=f（x），
∴f（1）=2，
∴f（3）=2

2

-f（-1）=2

2

-2，
同理可得：f（5）=2

2

-2，f（7）=2，
f（9）=2，f（11）=2

2

-2，
f（13）=2

2

-2，
…
即f（1）=f（9）=f（17）=…=f（1+8n）=2，
f（3）=f（11）=f（19）=…=f（3+8n）=2

2

-2，
f（5）=f（13）=f（21）=…=f（5+8n）=2

2

-2，
f（7）=f（15）=f（23）=…=f（7+8n）=2；
又2013=5+251×8，
∴f（2013）=f（5）=2

2

-2，
故选：A．

点评：本题考查抽象函数及其性质，着重考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，求得f（5）=f（13）=f（21）=…=f（5+8n）=2

2

-2是关键，也是难点，属于难题．