Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=

π

6

．
（I）写出直线l的参数方程是

x= 3 t+1 y=t+1

（t为参数），

（II）设l与圆ρ=2相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积是

2

．

Answer 1

分析：（I）设出直线l上任意一点Q，利用直线斜率的坐标公式可得到坐标的关系：（y-1）：（x-1）=1：

3

，再令
x-1=

3

t，以t为参数，可以得到直线l的参数方程；
（II）将圆ρ=2化成普通方程，再与直线的参数方程联解，得到一个关于t的一元二次方程．再用一元二次方程根与系数的关系，结合两点的距离公式，可得出P到A、B两点的距离之积．

解答：解：（I）设直线l上任意一点Q（x，y）
∵直线l经过点P（1，1），倾斜角α=

π

6

．
∴直线的斜率为k=

y-1

x-1

=

3

3

=

1

3

设x-1=

3

t，则y-1=t
∴

x= 3 t+1 y=t+1

（t为参数），即为直线l的参数方程．
（II）圆ρ=2化成直角坐标方程：x²+y²=4
将x=

3

t+1，则y=t+1代入，得：（

3

t+1）²+（t+1）²=4
∴2t²+（

3

+1）t-1=0…（*）
∵l与圆ρ=2相交与两点A、B
∴A（

3

t₁+1，t₁+1），B（

3

t₂+1，t₂+1），其中t₁、t₂是方程（*）的两个实数根．
 由根与系数的关系，得

t1+t2=- 3 +1 2 t1t2=- 1 2

P到A、B两点的距离分别为：
PA=

( 3 t1) 2+t1  2

=2|t1|，PB=

( 3 t2) 2+t2 2

=2|t2|
∴点P到A、B两点的距离之积为PA•PB=4|t₁t₂|=2
故答案为：

x= 3 t+1 y=t+1

（t为参数），2

点评：本题考查了直线的参数方程、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中用根与系数的关系，设而不求的思想方法．