Question

已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：
①f（x）在D上单调递减或单调递增
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．
（1）求闭函数f（x）=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；
（3）若y=k+

x+2

是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由y=-x³在R上单减，可得

a＜b -a3=b -b3=a

，可求a，b
（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知

2a+lga=a 2b+lgb=b

即

lga=-a lgb=-b

，结合对数函数的单调性可判断
（3）易知y=k+

x+2

在[-2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

有解，方程x=k+

x+2

至少有两个不同的解，即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围
另解：（1）易知函数f（x）=-x³是减函数，则有

f(b)=a f(a)=b

，可求
（2）取特值说明即可，不是闭函数．
（3）由函数f（x）=k+

x+2

是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，结合函数的 图象可求

解答：解：（1）∵y=-x³在R上单减，所以区间[a，b]满足

a＜b -a3=b -b3=a

解得a=-1，b=1
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则

2a+lga=a 2b+lgb=b

即

lga=-a lgb=-b

∴lgx=-x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=-x只有一个交点
故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数
（3）易知y=k+

x+2

在[-2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

有解，方程x=k+

x+2

至少有两个不同的解
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有两个都不小于k的不根．
∴

△＞0 f(k)=k2-k(2k+1)+k2-2≥0 2k+1 2 ＞k

得-

9

4

＜k≤-2，即所求．
另解：（1）易知函数f（x）=-x³是减函数，则有

f(b)=a f(a)=b

，解得

a=-1 b=1

，
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则

2a+lga=a 2b+lgb=b

即

lga=-a lgb=-b

∴lgx=-x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=-x只有一个根
所以，函数y=2x+lgx是不是闭函
（3）由函数f（x）=k+

x+2

是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，令k+

x+2

=x，则有
k=x-

x+2

=(

x+2

-

1

2

)2=(t-

1

2

)2-

9

4

，（令t=

x+2

≥0），如图
则直线若有两个交点，则有k∈(-

9

4

，-2]

点评：本题主要考查了函数的单调性的综合应用，方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用，综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思想．