已知函数的定义域为,且,,
当,且,时恒成立.
(1)判断在上的单调性;
(2)解不等式;
(3)若对于所有,恒成立,求的取值范围.
(1)详见解析;(2);(3)
解析试题分析:(1)将赋予,即将转化为,根据可知,即,根据单调性的定义可得函数在上的单调性。(2)由(1)知在上是单调增函数,根据单调性可得自变量的大小关系,同时自变量应在所给的定义域内,有以上不等式组组成的不等式组可得所求不等式的解集。(3)恒成立即恒成立,用函数的单调性可求其最值。将问题转化为关于的一元二次不等式恒成立问题,因为,又可将上式看成关于的一次不等式,讨论单调性即可得出。
试题解析:解:(1)∵当,且,时恒成立,
∴, ∴ , 2分
∴时,∴ ,
时,∴ 4分
∴在上是单调增函数 5分
(2)∵在上是单调增函数,且
∴ , 7分
解得 8分
故所求不等式的解集 9分
(3)∵在上是单调增函数,,
∴, 10分
若对于所有,恒成立,
则,恒成立, 11分
即,恒成立,
令,
要使在恒成立,
则必须,解得,或 13分
则的取值范围是 14分
考点:1函数单调性的定义;2用单调性求函数的最值。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数.
(1) A=B=N*,对应法则f:x→y=|x-3|,x∈A,y∈B;
(2) A=[0,+∞),B=R,对应法则f:x→y,这里y2=x,x∈A,y∈B;
(3) A=[1,8],B=[1,3],对应法则f:x→y,这里y3=x,x∈A,y∈B;
(4) A={(x,y)|x、y∈R},B=R,对应法则:对任意(x,y)∈A,(x,y)→z=x+3y,z∈B.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数f(x)=其中b>0,c∈R.当且仅当x=-2时,函数f(x)取得最小值-2.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若方程f(x)=x+a(a∈R)至少有两个不相同的实数根,求a取值的集合.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.
(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);
(2)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I的长度的最小值.
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