Question

2．已知f（x）=$\frac{2x-a}{{x}^{2}+2}$（x∈R）．  
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，求实数a的值组成的集合A；
（3）设关于x的方程f（x）=$\frac{1}{x}$的两个非零实根为x₁，x₂，试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据合适的奇偶性求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，得到关于a的不等式组，解出即可；
（3）根据x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，求出|x₁-x₂|=$\sqrt{{a}^{2}+8}$的最大值，问题转化为只需要对于任意t∈[-1，1]，m²+mt+1≥3恒成立．令g（t）=mt+（m²-2），得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）若函数f（x）为奇函数，
则f（-x）=-f（x）恒成立得到：a=0；
（2）f′（x）=$\frac{-{2x}^{2}+2ax+4}{{{（x}^{2}+2）}^{2}}$，
根据题意知，在区间[-1，1]恒有-2x²+2ax+4≥0，
故有$\left\{\begin{array}{l}{-2-2a+4≥0}\\{-2+2a+4≥0}\end{array}\right.$，
解之得-1≤a≤1，即A=[-1，1]；
（3）由$\frac{2x-a}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x}$，得x²-ax-2=0，
所以x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
故|x₁-x₂|=$\sqrt{{a}^{2}+8}$，
因为a∈[-1，1]，故|x₁-x₂|_max=3，
所以只需要对于任意t∈[-1，1]，m²+mt+1≥3恒成立．
令g（t）=mt+（m²-2），则有$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-m-2≥0}\\{{m}^{2}+m-2≥0}\end{array}\right.$，
解得：m≥2或m≤-2．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查二次函数的性质以及函数恒成立问题，是一道中档题．