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已知抛物线y2=2px(p>0)和四个点A、B、C、D,其中A在抛物线上,B(b,0),C(0,c)(c≠0),且直线AC交X轴于D点
(1)若p=2,b=-8,且D为AC中点,求证:AC⊥BC
(2)若p=2,b=1,且AC⊥BC,判断A,C,D三点的位置关系,并说明理由.
(3)对(1)(2)两个问题的探究过程中,涉及到以下三个条件:
①AC⊥BC;  ②点A、C、D的位置关系; ③点B的坐标.
对抛物线y2=2px(p>0),请以其中的两个条件做前提,一个做结论,写出三个真命题,(不必证明).
【答案】分析:(1)结合抛物线的方程可设,由D为AC的中点可知
要证明AC⊥BC?即可
(2)由题意可设由AC⊥BC,可得,代入可求,从而可得C是AD的中点
(3)真命题共有8种情况:①②⇒③共3种情况;①③⇒②共2种情况;②③⇒①共3种情况
解答:解:(1)由题意可设,…(1分)
?D为AC中点,∴…(4分)
又∵∴AC⊥BC…(6分)
(2)由题意可设,…(7分)
∵AC⊥BC,∴(10分)
,C是A,D的中点.…(12分)
(3)真命题共有8种情况:每个(2分)
①②⇒③共3种情况:
(i)若AC⊥BC,C为A,D的中点,则
(ii)若AC⊥BC,D为A,C中点,则B(-4p,0)
(iii)若AC⊥BC,A是C,D中点,则B(-4p,0)
①③⇒②共2种情况:
(i)若AC⊥BC,,则C为A,D的中点
(ii)若AC⊥BC,B(-4p,0),则D为A,C中点或A是C,D中点
②③⇒①共3种情况:
(i)若C为A,D的中点,,则AC⊥BC
(ii)若D为A,C中点,B(-4p,0),则AC⊥BC
(iii)若A是C,D中点,B(-4p,0),则AC⊥BC
点评:本题主要考查了抛物线的方程的应用,直线垂直与向量垂直的相互转化的应用,利用抛物线方程y2=2px(p>0)的特点设出抛物线上点的坐标是一种常用的设法
练习册系列答案
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OA
OB
=
0
0

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