Question

5．在锐角△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$．
（1）求$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$的值；
（2）求cosC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积的运算求得cosC=$\frac{{c}^{2}}{2ab}$，再利用余弦定理求得a²+b²=2c²，由此利用正弦定理、两角和的正弦公式、化简要求的式子，可得结果．
（2）根据 cosC=$\frac{{c}^{2}}{2ab}$，a²+b²=2c²≥2ab，利用基本不等式，求得cosC的取值范围．

解答 解：（1）锐角△ABC中，∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，∴$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$）=2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，
∴AB²=2CA•CB•cosC，即cosC=$\frac{{c}^{2}}{2ab}$．
又cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$，∴$\frac{{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$，即a²+b²=2c²．
∵$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{sinCcosA}{cosCsinA}$+$\frac{sinCcosB}{cosCsinB}$=$\frac{sinBsinCcosA+sinAsinCcosB}{sinAsinBcosC}$=$\frac{sinC（sinBcosA+cosBsinA）}{sinAsinBcosC}$ 
=$\frac{sinCsin（A+B）}{sinAsinBcosC}$=$\frac{{c}^{2}}{ab•cosC}$=$\frac{{c}^{2}}{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2}}$=$\frac{{2c}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}$=$\frac{{2c}^{2}}{{c}^{2}}$=2．
（2）∵cosC=$\frac{{c}^{2}}{2ab}$，a²+b²=2c²≥2ab，∴c²≥ab，当且仅当a=b时，取等号，
∴cosC≥$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$．
又△ABC为锐角三角形，∴C＜$\frac{π}{2}$，∴sinC＞0，∴cosC的取值范围为[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理和余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．