Question

【题目】已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2 cos2ωx﹣ （a＞0，ω＞0）的最大值为2，且最小正周期为π． （I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；
（II）若f（α）= ，求sin（4α+ ）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2asinωxcosωx+2 cos2ωx﹣ =asin2ωx+ cos2ωx= sin（2ωx+φ） ∵f（x）的最小正周期为T=π
∴ ，ω=1，
∵f（x）的最大值为2，
∴ =2，
即a=±1，
∵a＞0，∴a=1．
即f（x）=2sin（2x+ ）．
由2x+ = +kπ，
即x= + ，（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（α）= ，得2sin（2α+ ）= ，
即sin（2α+ ）= ，
则sin（4α+ ）=sin[2（2α+ ） ]=﹣cos2（2α+ ）=﹣1+2sin2（2α+ ）=﹣1+2×（ ）2=﹣
【解析】（Ⅰ）根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；（Ⅱ）根据f（a）= ，利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin（4α+ ）的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识，掌握两角和与差的正弦公式：．