Question

设集合A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）设f（x）=x²-x-3，求集合A与B；
（2）设f（x）=x²-（2a-1）x+a²（常数a∈R），求证：A=B．
（3）猜测集合A与B的关系并给予证明．

Answer 1

分析：（1）集合A与B，即方程f（x）=x的解集和方程f[f（x）]=x的解集，分别解方程即可
（2）分别解方程f（x）-x=（x-a）²=0和[f（x）]²-f（x）=[f（x）-a]²⇒[（x-a）²+x-a]²+（x-a）²=0，即可发现两方程同解
（3）先由（1）（2），猜想A⊆B，再利用子集定义证明对?x₀∈A，都有x₀∈B即可

解答：解（1）由A={x|f（x）=x}，知集合A的元素就是方程f（x）=x的解．
即f（x）=x⇒x²-x-3=x⇒x=-1或x=3．所以A={-1，3}．
同理，集合B的元素就是方程f[f（x）]=x的解
即（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x?（x²-x-3）²-x²=0.(x2-2x-3)(x2-3)=0⇒x=-1 ， x=3 ， x=±

3

．所以B={ -1 ， 3 ， 

3

 ， -

3

 }．
（2）由f（x）=x²-（2a-1）x+a²，
得方程f（x）-x=（x-a）²=0的解为x=a，所以A={a}；
而方程f[f（x）]=x的解是集合B的元素，
即[f（x）]²-f（x）=[f（x）-a]²⇒[（x-a）²+x-a]²+（x-a）²=0．（x-a）²[（x-a+1）²+1]=0⇒x=a，所以B={a}．
故A=B．
（3）若A=∅，显然A⊆B．
若A≠∅，任取x₀∈A，于是f（x₀）=x₀，
则f[f（x₀）]=f（x₀）=x₀，所以x₀∈B，∴A⊆B．

点评：本题考查了集合的意义，集合间的关系，解题时要熟练掌握一元二次不等式的解法，会运用子集定义证明集合关系