Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；

（2）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围；

（3）若的值域为区间，是否存在常数，使区间的长度为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 或.

【解析】试题分析：(1)根据题意的对称轴是，得到在区间递增，列出不等式组，即可求解实数的范围；

（2）只需函数的值域是函数的值域的子集，通过讨论，的情况，得到函数的单调性，从而确定实数的取值范围；

（3）通过讨论的范围，结合函数的单调性以及的值，得到关于的方程，即可求解的值.

试题解析：

(1)根据题意得： 的对称轴是，故在区间递增，

因为函数在区间上存在零点，故有，即，

故所求实数的范围是；

（2）若对任意的，总存在，使成立，

只需函数的值域是函数的值域的子集，

时， 的值域是，

下面求， 的值域，

令，则， ，

①时， 是常数，不合题意，舍去；

②时， 的值域是，

要使 ，只需，计算得出；

③时， 的值域是，

要使 ，只需，计算得出；

综上， 的范围是.

（3）根据题意得，计算得出，

①时，在区间上， 最大， 最小，

，

计算得出： 或（舍去）；

②时，在区间上， 最大， 最小，

，计算得出： ；

③时，在区间上， 最大， 最小，

，

计算得出： 或，故此时不存在常数满足题意，

综上，存在常数满足题意， 或.