【题目】已知函数.
(1)若函数在区间
上存在零点,求实数
的取值范围;
(2)当时,若对任意的
,总存在
,使
成立,求实数
的取值范围;
(3)若的值域为区间
,是否存在常数
,使区间
的长度为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.(注:区间
的长度为
)
【答案】(1) (2)
(3)
或
.
【解析】试题分析:(1)根据题意的对称轴是
,得到
在区间
递增,列出不等式组,即可求解实数
的范围;
(2)只需函数的值域是函数
的值域的子集,通过讨论
,
的情况,得到函数的单调性,从而确定实数
的取值范围;
(3)通过讨论的范围,结合函数的单调性以及
的值,得到关于
的方程,即可求解
的值.
试题解析:
(1)根据题意得: 的对称轴是
,故
在区间
递增,
因为函数在区间上存在零点,故有
,即
,
故所求实数的范围是
;
(2)若对任意的,总存在
,使
成立,
只需函数的值域是函数
的值域的子集,
时,
的值域是
,
下面求,
的值域,
令,则
,
,
①时,
是常数,不合题意,舍去;
②时,
的值域是
,
要使
,只需
,计算得出
;
③时,
的值域是
,
要使
,只需
,计算得出
;
综上, 的范围是
.
(3)根据题意得,计算得出
,
①时,在区间
上,
最大,
最小,
,
计算得出: 或
(舍去);
②时,在区间
上,
最大,
最小,
,计算得出:
;
③时,在区间
上,
最大,
最小,
,
计算得出: 或
,故此时不存在常数
满足题意,
综上,存在常数满足题意,
或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】据报道,某公司的32名职工的月工资(单位:元)如下:
职务 | 董事长 | 副董事长 | 董事 | 总经理 | 经理 | 管理 | 职员 |
人数 | 1 | 1 | 2 | 1 | 5 | 3 | 20 |
工资 | 5 500 | 5 000 | 3 500 | 3 000 | 2 500 | 2 000 | 1 500 |
(1)求该公司职工工资的平均数、中位数、众数.(精确到1元)
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数分别是多少?(精确到1元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着网络的发展,人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等,所以人们对上网流量的需求越来越大.某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐.为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐,随机抽取50个用户,按年龄分组进行访谈,统计结果如表.
组号 | 年龄 | 访谈人数 | 愿意使用 |
1 | [18,28) | 4 | 4 |
2 | [28,38) | 9 | 9 |
3 | [38,48) | 16 | 15 |
4 | [48,58) | 15 | 12 |
5 | [58,68) | 6 | 2 |
(Ⅰ)若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中,用分层抽样的方法抽取12人,则各组应分别抽取多少人?
(Ⅱ)若从第5组的被调查者访谈人中随机选取2人进行追踪调查,求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率.
(Ⅲ)按以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断以48岁为分界点,能否在犯错误不超过1%的前提下认为,是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关?
年龄不低于48岁的人数 | 年龄低于48岁的人数 | 合计 | |
愿意使用的人数 | |||
不愿意使用的人数 | |||
合计 |
参考公式: ,其中:n=a+b+c+d.
P(k2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知等式:sin25°+cos235°+sin5°cos35°= ; sin215°+cos245°+sin15°cos45°=
; sin230°+cos260°+sin30°cos60°=
;由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式,并予以证明.
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【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系,在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明:在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心,另15人比较粗心;在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心,另30人比较粗心.
(1)试根据上述数据完成2×2列联表;
数学成绩及格 | 数学成绩不及格 | 合计 | |
比较细心 | |||
比较粗心 | |||
合计 |
(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系. 参考数据:独立检验随机变量K2的临界值参考表:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(其中n=a+b+c+d)
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【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系,在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明:在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心,另15人比较粗心;在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心,另30人比较粗心.
(1)试根据上述数据完成2×2列联表;
数学成绩及格 | 数学成绩不及格 | 合计 | |
比较细心 | |||
比较粗心 | |||
合计 |
(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系. 参考数据:独立检验随机变量K2的临界值参考表:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(其中n=a+b+c+d)
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【题目】某品牌新款夏装即将上市,为了对夏装进行合理定价,在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售,得到如下数据:
连锁店 | A店 | B店 | C店 | |||
售价x(元) | 80 | 86 | 82 | 88 | 84 | 90 |
销售量y(件) | 88 | 78 | 85 | 75 | 82 | 66 |
(1)以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为散点,求出售价与销量的回归直线方程 ;
(2)在大量投入市场后,销售量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为40元/件,为使该款夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元(保留整数)? .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中3人答对的概率分别为
,
,
,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用ξ表示乙队的总得分. (Ⅰ)求ξ的分布列和数学期望;
(Ⅱ)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
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【题目】下面是60名男生每分钟脉搏跳动次数的频率分布表.
分组 | 频数 | 频率 | |
[51.5,57.5) | 4 | 0.067 | 0.011 |
[57.5,63.5) | 6 | 0.1 | 0.017 |
[63.5,69.5) | 11 | 0.183 | 0.031 |
[69.5,75.5) | 20 | 0.333 | 0.056 |
[75.5,81.5) | 11 | 0.183 | 0.031 |
[81.5,87.5) | 5 | 0.083 | 0.014 |
[87.5,93.5] | 3 | 0.05 | 0.008 |
(1)作出其频率分布直方图;
(2)根据直方图的各组中值估计总体平均数;
(3)估计每分钟脉搏跳动次数的范围.
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