Question

已知直线xsinα+ycosα+1=0（a∈R），给出下列四个命题：
（1）直线的倾斜角是π-α；
（2）无论a如何变化，直线不过原点；
（3）无论a如何变化，直线总和一个定圆相切；
（4）当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1；
其中正确命题的序号是

（2）（3）（4）

．（把你认为正确命题的序号全填上）

Answer 1

分析：根据倾斜角的范围，可判断（1）；将（0，0）代入直线方程，可判断（2）；将原点和直线方程代入直线距离公式，可得直线总和单位圆相切，可判断（3）；求出三角形面积公式，结合三角函数的图象和性质，可判断（4）

解答：解：根据倾斜角的范围为[0，π），而π-α∈R，可知（1）错误；
当x=y=0时，xsinα+ycosα+1=1≠0，故直线必不过原点，故（2）正确；
原点到直线的距离d=1，故直线总和单位圆相切，故（3）正确；
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积S=

1

2

|

1

sinα•cosα

|=

1

|sin2α|

≥1，故（4）正确
故答案为：（2）（3）（4）

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了直线的倾斜角，点与直线的关系，直线与圆的位置关系，三角函数的图象和性质，难度中等．