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(2006•广州二模)已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.
分析:先利用二倍角公式将方程2cos2B-8cosB+5=0化为关于cosB的方程,解得cosB,从而由B的范围确定角B的大小,再由余弦定理结合a、b、c成等差数列,得三角形边的关系,最后确定三角形形状
解答:解:由2cos2B-8cosB+5=0,可得4cos2B-8cosB+3=0,
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=
1
2
cosB=
3
2
(舍去).
∵0<B<π,∴B=
π
3

又∵a,b,c成等差数列,即a+c=2b.
cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-(
a+c
2
)
2
2ac
=
1
2

化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c,
B=
π
3

∴△ABC是等边三角形.
点评:本题考查了二倍角公式,简单的三角方程解法,余弦定理及其推论的用法,判断三角形形状问题的一般解决方法
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