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    【题目】如图，在直三棱柱中， , 是的中点， 是的中点。

    （1）求异面直线与所成的角；

    （II）求证

    （III）求二面角的正切值.

    【答案】（1）（2）见解析（3）

    【解析】试题分析：（1）线线角找平移: 取的中点，则，所以是异面直线与所成的角,再根据余弦定理解得角（2）由三角形相似可得.再根据侧面与底面垂直, 得,即得；根据线面垂直判定定理得, (3) 设是的中点，过点作于，根据线面垂直判定定理以及性质定理可得为二面角平面角,再根据解三角形得二面角的正切值.

    试题解析：解：（I）取的中点，连，则，所以是异面直线与所成的角。设，则， ，

    .

    。在中，

    .所以异面直线与所成的角为.

    （II）由（I）可知， ,又因为三棱柱是直三棱柱，所以

    ,得；又由与相似，得又由

    ,所以, .

    （III）连接，设是的中点，过点作于，连,

    则.又由平面 平面,所以.

    由，得

    所以二面角的平面角正切值是.

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    ， ，平面平面.

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