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4.若函数f(x)为定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)为减函数,若f(2)=0,则不等式(x-1)f(x-1)>0的解集为(  )
A.(-3,-1)B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-3,0)∪(1,3)D.(-1,1)∪(1,3)

分析 利用函数的单调性与奇偶性做出函数图象,然后按x-1得符号进行分类讨论.

解答 解:由做出函数的大致图象如图:

(1)当x-1>0时,即x>1时,f(x-1)>0,
∴0<x-1<2或x-1<-2,
解得1<x<3.
(2)当x-1<0时,即x<1时,f(x-1)<0,
∴-2<x-1<0或x-1>2,
解得-1<x<1.
综上所述:x的取值范围是(-1,1)∪(1,3).
故选:D.

点评 本题考查了函数的单调性与奇偶性,是基础题.

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