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(本小题满分14分)

已知二次函数,关于的不等式的解集为,其中为非零常数.设.

(1)求的值;

(2)R如何取值时,函数存在极值点,并求出极值点;

(3)若,且,求证:N

 

【答案】

(1)(2)当时,取任意实数, 函数有极小值点

时,,函数有极小值点,有极大值点.

(其中, )

(3)① 当时,左边,右边,不等式成立;② 假设当N时,不等式成立,即

  

也就是说,当时,不等式也成立.

由①②可得,对N都成立.

【解析】

试题分析:(1)解:∵关于的不等式的解集为

即不等式的解集为

.

.

.

.    

(2)解法1:由(1)得.

的定义域为.

方程(*)的判别式

.  

时,,方程(*)的两个实根为

 

时,时,.

∴函数上单调递减,在上单调递增.

∴函数有极小值点.

②当时,由,得

,则

时,

∴函数上单调递增.

∴函数没有极值点. 

时,

时,时,时,.

∴函数上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.

∴函数有极小值点,有极大值点.

综上所述, 当时,取任意实数, 函数有极小值点

时,,函数有极小值点,有极大值点.

(其中, )

解法2:由(1)得.

的定义域为.

若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点,且

至少有一个零点在上.

,

, (*)

,(**)

方程(*)的两个实根为, .

,

①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立.

时,时,.

∴函数上单调递减,在上单调递增.

∴函数有极小值点.

②若,则

又由(**)解得,

.

时,时,时,.

∴函数上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.

∴函数有极小值点,有极大值点.

综上所述, 当时,取任何实数, 函数有极小值点

时,,函数有极小值点,有极大值点 

(其中, )

(2)证法1:∵, ∴.

 

.

.

 

.   

,即.   

证法2:下面用数学归纳法证明不等式.

① 当时,左边,右边,不等式成立;

② 假设当N时,不等式成立,即

  

  

也就是说,当时,不等式也成立.

由①②可得,对N都成立.

考点:本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识

点评:本题计算量大,第二问中要对参数分情况讨论再次加大了试题的难度,第三问数学归纳法用来证明和正整数有关的题目。本题还考查了数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识

 

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