Question

如图所示，在半径为

3

，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上．设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

分析：利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定矩形面积的最大值．

解答：解：由题意，PN=OP•sinθ=

3

sinθ，ON=OPcosθ=

3

cosθ，OM=

QM

tan60°

=

PN

tan60°

=sinθ
∴MN=ON-OM=

3

cosθ-sinθ
∴y=

3

sinθ（

3

cosθ-sinθ），
即y=3sinθcosθ-

3

sin²θ，θ∈（0，

π

3

）
∴y=

3

sin（2θ+

π

6

）-

3

2

∵θ∈（0，

π

3

）
∴2θ+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)
∴sin（2θ+

π

6

）∈(

1

2

，1]
∴2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

时，y的最大值为

3

2

．

点评：本题考查三角函数模型的建立，考查三角函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．