Question

下列命题正确的是（　　）：
①“2＜x＜6”是“x²-4x-12＜0”的必要不充分条件
②函数f（x）=tan2x的对称中心是（

kπ

2

，0）（k∈Z）
③“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x∈R，x³-x²+1＞0”；
④设常数a使方程sinx+

3

cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x₁，x₂，x₃则x₁+x₂+x₃=

7π

3

．

• A、①③
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①由x²-4x-12＜0，解得-2＜x＜6，可得“2＜x＜6”是“x²-4x-12＜0”的充分不必要条件；
②由tan2x=0，解得2x=kπ，即x=

kπ

2

，（k∈Z），即可得出函数f（x）=tan2x的对称中心；
③取x=-1，则x³-x²+1=-1＜0，即可判断出；
④sinx+

3

cosx=a化为sin(x+

π

3

)=

a

2

，由于常数a使方程sinx+

3

cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x₁，x₂，x₃，则

a

2

=

3

2

，解得即可．

解答： 解：①由x²-4x-12＜0，解得-2＜x＜6，因此“2＜x＜6”是“x²-4x-12＜0”的充分不必要条件，不正确；
②由tan2x=0，解得2x=kπ，即x=

kπ

2

，（k∈Z）因此函数f（x）=tan2x的对称中心是（

kπ

2

，0）（k∈Z），正确；
③取x=-1，则x³-x²+1=-1＜0，因此“?x∈R，x³-x²+1＞0”不正确；
④sinx+

3

cosx=a化为sin(x+

π

3

)=

a

2

，由于常数a使方程sinx+

3

cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x₁，x₂，x₃，
则

a

2

=

3

2

，解得x+

π

3

=

π

3

，π-

π

3

，2π+

π

3

，
∴x₁+x₂+x₃=

7π

3

，正确．
综上可得：只有②④正确．
故选：C．

点评：本题考查了简易逻辑的判断、三角函数的图象与性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．