Question

【题目】春节期间商场为活跃节日气氛，特举行“购物有奖”抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，每次中奖可以获得20元购物代金券，方案乙的中奖率为 ，每次中奖可以获得30元购物代金券，未中奖则不获得购物代金券，每次抽奖中奖与否互不影响，已知小明通过购物获得了2次抽奖机会．
（1）若小明选择方案甲、乙各抽奖一次，记他累计获得的购物代金券面额之和为X，求X≤30的概率；
（2）设小明两次抽奖都选择方案甲或都选择方案乙，且都选择方案乙时，已算得，累计获得的购物代金券面额之和X1的数学期望E（X1）=24，问：小明选择这两种方案中的何种方案抽奖，累计获得的购物代金券面额之和的数学期望较大？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，甲方案中奖的概率为 ，乙方案中奖的概率为 ，且两次抽奖中奖与否互不影响，

记“小明累计得分X≤30”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=50”，

因为P（X=50）= = ，∴P（A）=1﹣P（X=50）= ．

即他的累计得分x≤30的概率为

（2）解：设小明两次都选择甲方案抽奖中奖次数为X2，小明两次都选择方案乙抽奖中奖次数为X1，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（20X2），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（30X1）．

由已知可得，X2～B（2， ），X1～B（2， ），

∴E（X2）=2× = ，E（X1）=2× = ，

从而E（20X2）=20E（X2）= ，E（30X1）=30E（X1）= =24，

由于E（20X2）＞E（30X1），

∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大

【解析】（1）记“小明累计得分X≤30”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=50”，由P（X=50）= ，可得P（A）=1﹣P（X=50）．（2）设小明两次都选择甲方案抽奖中奖次数为X2 ， 小明两次都选择方案乙抽奖中奖次数为X1 ， 则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（20X2），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（30X1）．由已知可得，X2～B（2， ），X1～B（2， ），即可得出．