Question

6．在直角坐标系内，点A（x，y） 实施变换f后，对应点为A₁（y，x），给出以下命题：
①圆x²+y²=r²（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x²+y²=r²；
②若直线y=kx+b上每一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y=kx+b，则k=-1；
③曲线C：y=lnx-x（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点的轨迹是曲线C₁，M是曲线C上的任意一点，N是曲线C₁上的任意一点，则|MN|的最小值为$\sqrt{2}$（1+ln2）．
以上正确命题的序号是①（写出全部正确命题的序号）．

Answer 1

分析 本题的关键是理解点A（x，y）实施变换f后，对应点为A₁（y，x）这一变换过程，针对每一个方程给出变换后的正确方程．

解答 解：①圆x²+y²=r²（r≠0）上任意一点实施变换f后，
显然互换x，y后，对应点的轨迹仍是圆x²+y²=r²（r≠0）；
∴①正确；
②若直线y=kx+b上每一点实施变换f后，互换x，y后，对应点的轨迹方程：x=ky+b，若应点的轨迹方程仍是y=kx+b，那么k=±1且b=0，不正确；
③曲线C：y=lnx-x（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点的轨迹是曲线C₁：x=lny-y（y＞0）
∵y=lnx-x（x＞0），∴y′=$\frac{1}{x}$-1=1，可得x=1，此时y=-1，
∴与y=x平行且与曲线C相切的直线方程为y+1=x-1，即x-y-2=0，
∴两条直线的距离为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$
利用对称性可知，则|MN|的最小值为2$\sqrt{2}$．故不正确；
故答案为：①．

点评 本题考查的是学生的创新能力，是一道高考常见的题型．