Question

（本小题满分14分）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
⑴求椭圆C的方程；
⑵设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；
⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．

Answer 1

解：⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．
⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为  ①
联立消去得：，
由得，
又不合题意，
所以直线的斜率的取值范围是或．
⑶设点，则，直线的方程为，
令，得，将代入整理，得．     ②由得①代入②整理，得，
所以直线与轴相交于定点．

略