Question

已知函数f（x）=|x²-2mx+n|，x∈R，下列结论：
①函数f（x）是偶函数；
②若f（0）=f（2）时，则函数f（x）的图象必关于直线x=1对称；
③若m²-n≤0，则函数f（x）在区间（-∞，m]上是减函数；
④函数f（x）有最小值|n-m²|．其中正确的序号是

③

．

Answer 1

分析：①根据偶函数的性质验证f（-x）与f（x）的关系对①进行判断；
②根据点对称的性质进行判断；
③已知m²-n≤0，可以判断x²-2mx+n≥0恒成立，从而去掉绝对值，再利用函数的图象进行判断；
④已知f（x）=）=|x²-2mx+n|≥0恒成立，最下值应为0，需要n-m²=0，从而进行判断；

解答：解：①∵函数f（x）=|x²-2mx+n|，f（-x）=|x²+2mx+n|，若m≠0，显然f（-x）≠f（x），故①错误；
②函数f（x）=|x²-2mx+n|，x∈R，对称轴为x=m，若f（0）=f（2），可得|n|=|4-4m+n|，解不出m=1，故②错误；
③∵m²-n≤0，可得△=（-2m）²-4n=4m²-4n=4（m²-n）≤0，f（x）的图象开口向上，函数图象在x轴上方，
∴f（x）=|x²-2mx+n|=x²-2mx+n，对称轴为x=m，开口向上，
∴函数f（x）在区间（-∞，m]上是减函数，故③正确；
④函数f（x）≥0，说明其最小值为0，但是|n-m²|不一定等于0，故④错误，
故答案为：③；

点评：此题主要考查二次函数的性质，图象及其对称轴的问题，是一道基础题，考查的知识点比较多比较全面；