Question

已知函数f（x）=msinx+

3

cosx，（m＞0）的最大值为2．
（1）求函数f（x）在[0，π]上的值域；
（2）已知△ABC外接圆半径R=2，f（A-

π

3

）+f（B-

π

3

）=8sinAsinB，角A，B所对的边分别是a，b，求

1

a

+

1

b

的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）f（x）变形后，根据最大值为2，求出m的值，确定出f（x），利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域；
（2）根据（1）确定出f（x）解析式，化简已知等式左边，整理后利用正弦定理化简，变形即可求出所求式子的值．

解答： 解：（1）函数f（x）=msinx+

3

cosx的最大值

m2+3

=2，
解得：m=1，
∴f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），
∵x∈[0，π]，
∴x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴sin（x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
则f（x）在[0，π]上的值域为[-

3

，2]；
（2）化简得：f（A-

π

3

）+f（B-

π

3

）=sin（A-

π

3

）+

3

cos（A-

π

3

）+sin（B-

π

3

）+

3

cos（B-

π

3

）
=sinAcos

π

3

-cosAsin

π

3

+

3

cosAcos

π

3

+

3

sinAsin

π

3

+sinBcos

π

3

-cosBsin

π

3

+

3

cosBcos

π

3

+

3

sinBsin

π

3

=2sinA+2sinB
=8sinAsinB，
即sinA+sinB=4sinAsinB，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=2R=4，化简得：

a

4

+

b

4

=4•

a

4

•

b

4

，
整理得：

1

a

+

1

b

=1．

点评：此题考查正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．