Question

7．若三棱锥P-ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 利用AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，求出PA=$\sqrt{2}$，三棱锥P-ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为$\sqrt{2+1+1}$=2，可得三棱锥P-ABC的外接球的半径为1，即可得出结论．

解答 解：∵AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，
∴PA=$\sqrt{2}$，
三棱锥P-ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为$\sqrt{2+1+1}$=2，
∴三棱锥P-ABC的外接球的半径为1，
∴三棱锥P-ABC的外接球的体积为$\frac{4π}{3}$，
故选A．

点评 本题考查三棱锥P-ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．