【题目】已知函数.
(1)设,求函数的单调区间;
(2)若函数在其定义域内有两个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为,无单调递减区间.(2)
【解析】
(1)对函数f(x)求导,然后构造函数,通过判断F(x)的单调性和最值即可得到函数f(x)的单调性;(2)“函数在其定义域内有两个零点”可以转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点,利用导数的几何意义求解即可得到答案.
(1)
函数的定义域为,
令,则
令,得;令,得
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
所以
所以对任意恒成立,
所以的单调递增区间为,无单调递减区间.
(2)(法一):的定义域为,
所以“函数在其定义域内有两个零点”等价于“方程在区间内有两个不同的实数根”即方程在区间内有两个不同的实数根
故上述问题可以转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点,如图
若令过原点且与函数图像相切的直线斜率为,由图可得
令切点
由,得,所以
又,所以,解得:
于是,所以
故实数的取值范围是
(法二)的定义域为,
,
当时,,
所以在单调递增,所以在不会有两个零点,不合题意,
当时,令,得,
在上,,在上单调递增,
在上,,在上单调递减,
所以,
又时,,
时,,
要使有两个零点,则有
即
所以
所以,即实数的取值范围为.
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【题目】已知函数,,给出如下四个命题:
①的单调递增区间为;
②时,的极小值点为;
③时,在上存在唯一零点;
④若在(为自然对数的底数)上的最小值为3,则.
其中的真命题有______.(填上你认为所有正确的结论序号
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【题目】如图,在四棱锥中,平面平面,,,,且.
(1)过作截面与线段交于点H,使得平面,试确定点H的位置,并给出证明;
(2)在(1)的条件下,若二面角的大小为,试求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动,抽奖规则是:盒子里面共有4个小球,小球上分别写有0,1,2,3的数字,小球除数字外其他完全相同,每对亲子中,家长先从盒子中取出一个小球,记下数字后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小球,记下小球上数字将小球放回.抽奖活动的奖励规则是:①若取出的两个小球上数字之积大于4,则奖励飞机玩具一个;②若取出的两个小球上数字之积在区间上,则奖励汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于1,则奖励饮料一瓶.
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率;
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率,哪个更大?请说明理由.
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【题目】大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记住后蒙住眼睛快速还原魔方,盲拧在外人看来很神奇,其实原理是十分简单的,要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况,某兴趣小组在全市范围内随机抽取了名魔方爱好者进行调查,得到的情况如表所示:
用时(秒) | ||||
男性人数 | 15 | 22 | 14 | 9 |
女性人数 | 5 | 11 | 17 | 7 |
附:,.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
(1)将用时低于秒的称为“熟练盲拧者”,不低于秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下列联表,并判断是否有的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关?
熟练盲拧者 | 非熟练盲拧者 | |
男性 | ||
女性 |
(2)以这名盲拧魔方爱好者的用时不超过秒的频率,代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过秒的概率,每位盲拧魔方爱好者用时是否超过秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取名爱好者进行测试,其中用时不超过秒的人数最有可能(即概率最大)是多少?
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【题目】如图,有一块半径为20米,圆心角的扇形展示台,展示台分成了四个区域:三角形,弓形,扇形和扇形(其中).某次菊花展依次在这四个区域摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:泥金香50元/米,紫龙卧雪30元/米,朱砂红霜40元/米.
(1)设,试建立日效益总量关于的函数关系式;
(2)试探求为何值时,日效益总量达到最大值.
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【题目】假设今天是4月23日,某市未来六天的空气质量预报情况如下图所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天(4月24日~4月29日)内选择一天出游,甲只选择空气质量为优的一天出游,乙不选择周一出游,丙不选择明天出游,且甲与乙不选择同一天出游,则这三人出游的不同方法数为________.
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【题目】某公司准备上市一款新型轿车零配件,上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量(单位:件)的数据如下表:
日销售量 | 40 | 60 | 80 | 100 |
频数 | 9 | 12 | 6 | 3 |
(1)若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件,求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率;
(2)试销结束后,这款零件正式上市,每个定价仍为1000元,但生产公司对该款零件不零售,只提供零件的整箱批发,大箱每箱有60件,批发价为550元/件;小箱每箱有45件,批发价为600元/件.该4S店决定每天批发两箱,根据公司规定,当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量(单位:件)的数据如下表:
日销售量 | 50 | 70 | 90 | 110 |
频数 | 5 | 15 | 8 | 2 |
(ⅰ)设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱,这30天这款零件的总利润;
(ⅱ)以总利润作为决策依据,该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱?
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