Question

【题目】已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），
（1）当a=1，b=2，若|f（x）|﹣2=0有且只有两个不同的实根，求实数c的取值范围；
（2）设方程f（x）=x的两个实根为x1 ， x2 ， 且满足0＜t＜x1 ， x2﹣x1＞ ，试判断f（t）与x1的大小，并给出理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵当a=1，b=2，∴f（x）=x2+2x+c=（x+1）2+c﹣1

∴﹣2＜c﹣1＜2

∴﹣1＜c＜3

（2）解：方程f（x）=x，即ax2+（b﹣1）x+c=0，

由题意得 ，

（1）

∵ ，

∴ax1+ax2=1﹣b，即ax1+b=1﹣ax2代入 （1）得

∵0＜t＜x1，∴t﹣x1＜0，∵0＜t＜x1，

∴at﹣ax2+1＜ax1﹣ax2+1，

∵ ，∴ax1﹣ax2＜﹣1，即at﹣ax2+1＜ax1﹣ax2+1＜0．

所以f（t）＞x1．

【解析】（1）由f（x）的解析式得到最小值c﹣1，由|f（x）|﹣2=0有且只有两个不同的实根，得到不等式﹣2＜c﹣1＜2，由此得到c的取值范围．（2）由方程f（x）=x的两个实根为x1 ， x2 ， 由韦达定理得到两个根的差的范围，用做差来判断两数的大小．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．