Question

1．已知无穷数列{c_n}满足c_n+1=|1-|1-2c_n||．
（Ⅰ）若c₁=$\frac{1}{7}$，写出数列{c_n}的前4项；
（Ⅱ）对于任意0＜c₁≤1，是否存在实数M，使数列{c_n}中的所有项均不大于M？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当c₁为有理数，且c₁≥0时，若数列{c_n}自某项后是周期数列，写出c₁的最大值．（直接写出结果，无需证明）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由c₁=$\frac{1}{7}$代入递推式，计算即可得到所求；
（Ⅱ）存在满足题意的实数M，且M的最小值为1．
方法一：猜想0≤c_n≤1，下面用数学归纳法进行证明．先证n=1成立；假设n=k成立．推得n=k+1也成立；
方法二、运用反证法．当n≥2时，若存在k=2，3，4…，满足c_k-1＜1，且c_k＞1．推理得到矛盾，即可得到结论；
（Ⅲ）根据周期数列概念，可得最大值为2．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）$\frac{1}{7}，\frac{2}{7}，\frac{4}{7}，\frac{6}{7}，\frac{2}{7}$…．（4分）
（Ⅱ）存在满足题意的实数M，且M的最小值为1．
解法一：猜想0≤c_n≤1，下面用数学归纳法进行证明．
（1）当n=1时，0≤c₁≤1，结论成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时结论成立，即0≤c_k≤1，
当n=k+1时，0≤2c_k≤2，所以-1≤1-2c_k≤1，
即0≤|1-2c_k|≤1，所以0≤1-|1-2c_k|≤1，
故0≤|1-|1-2c_k||≤1．
又因为c_k+1=|1-|1-2c_k||，
所以0≤c_k+1≤1，
所以n=k+1时结论也成立．
综上，由（1），（2）知，0≤c_n≤1成立
所以M≥1，当${c_1}=\frac{1}{2}$时，可得当n≥2时，c_n=1，此时，M的最小值为1
故M的最小值为1．
解法二：当n≥2时，若存在k=2，3，4…，满足c_k-1＜1，且c_k＞1．
显然${c_{k-1}}≠0，\frac{1}{2}，1$，则$\frac{1}{2}＜{c_{k-1}}＜1$时，c_k=2-2c_k-1＜1与c_k＞1矛盾；
$0＜{c_{k-1}}＜\frac{1}{2}$时，c_k=2c_k-1＜1与c_k＞1矛盾；
所以0≤c_n≤1（n≥2）
所以M≥1，当${c_1}=\frac{1}{2}$时，可得当n≥2时，c_n=1，此时，M的最小值为1．
故M的最小值为1．…（10分）
（Ⅲ）2…（13分）

点评 本题考查数学归纳法的证明，考查存在性问题的解法，注意数学归纳法证明的步骤，由n=k成立，证得n=k+1也成立是解题的关键，属于中档题．