Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，动点P到定点F(1,0)的距离比到定直线x=-2的距离小1.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）若直线l与（1）中轨迹C交于A，B两点，通过A和原点O的直线交直线x=-1于D，求证：直线DB平行于x轴.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）判断轨迹为抛物线，转化求解抛物线方程即可．

（2）画出图形，设直线的方程为代入抛物线方程，设，，，，取得的纵坐标，然后推出结果．

（1）解：动点到的距离比到定直线的距离小，则与到定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为①

（2）证明：设直线的方程为②

②代入①，整理得，

设，，，，则，

所以点的纵坐标③

因为，所以直线的方程为④

可得的纵坐标为⑤

由③⑤知，轴．