Question

已知函数f（x）=mx³+3x²-3x，m∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=-1处取得极值，试求m的值，并求f（x）在点M（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设m＜0，若函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，f′（-1）=0，代入求出m，根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数值即为切线的斜率k=f′（1），从而可得切线方程y-f（1）=k（x-1）即可．
（II）若函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间?存在区间I⊆（2，+∞），使得x∈I时，f′（x）＞0，求解即可．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3mx²+6x-3．
因为函数f（x）在x=-1处取得极值，所以f'（-1）=0，解得m=3．
于是函数f（x）=3x³+3x²-3x，f（1）=3，f'（x）=9x²+6x-3．
函数f（x）在点M（1，3）处的切线的斜率k=f'（1）=12，
则f（x）在点M处的切线方程为12x-y-9=0．（6分）
（Ⅱ）当m＜0时，f'（x）=3mx²+6x-3是开口向下的抛物线，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使f'（x）＞0，
应满足

m＜0 - 1 m ≥2 f′(- 1 m )＞0

或

m＜0 - 1 m ＜2 f′(2)＞0.

解得-

1

2

≤m＜0，或-

3

4

＜m＜-

1

2

，所以m的取值范围是(-

3

4

，0)．（14分）

点评：本体主要考查了函数存在极值的性质：函数在x=x₀处取得极值，则f′（x₀）=0，但f′（x₀）=0，函数在处不一定是极值点；函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间与函数f（x）在（2，+∞）单调递增是两个完全不同的概念，要注意区分．