Question

7．若x∈[4，+∞），求函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$的值域．

Answer 1

分析 化简：y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-4x+2}{x+1}$=x+1+$\frac{6}{x+1}$-4，从而可得y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$在[4，+∞）上是增函数，从而解得．

解答 解：y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-4x+2}{x+1}$=x+1+$\frac{6}{x+1}$-4，
∵x+1+$\frac{6}{x+1}$≥2$\sqrt{6}$，（当且仅当x+1=$\frac{6}{x+1}$，即x=$\sqrt{6}$-1时，等号成立），
又∵x∈[4，+∞），
∴$\sqrt{6}$-1取不到，
可判断y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$在[4，+∞）上是增函数，
故y≥$\frac{16-8+3}{5}$=$\frac{11}{5}$，
故函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$的值域为[$\frac{11}{5}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性的判断及对勾函数的应用，同时考查了函数的值域的求法．