【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形, 底面ABCD,SA=2,M为SA的中点.
(1)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(2)求直线AS与平面SCD所成角的正弦值;
(3)求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值.
【答案】
(1)解:在平面ABCD中,过点A作AF⊥AB,交CD与F,
以A为原点,AB,AF,AS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
A(0,0,0),B(1,0,0),M(0,0,1),D(﹣ , ,0),
=(1,0,0), =(﹣ , ,﹣1),
设异面直线AB与MD所成角为α,
则cosα= = = ,
∴ .
∴异面直线AB与MD所成角为
(2)解:S(0,0,2),C(1﹣ , ,0),
=(0,0,2), =(1﹣ , ,﹣2), =(﹣ , ,﹣2),
设平面SCD的法向量 =(x,y,z),
则 ,取z=1,得 =(0,2 ,1),
设直线AS与平面SCD所成角为β,
则sinβ=|cos< >|= = = ,
∴直线AS与平面SCD所成角的正弦值为
(3)解:∵平面SCD的法向量 =(0,2 ,1),
平面SAB的法向量 =(0,1,0),
∴cos< >= = ,
∴平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值为 .
【解析】(1)在平面ABCD中,过点A作AF⊥AB,交CD与F,以A为原点,AB,AF,AS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AB与MD所成角.(2)求出平面SCD的法向量,利用向量法能求出直线AS与平面SCD所成角的正弦值.(3)求出平面SCD的法向量和平面SAB的法向量,利用向量法能求出平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解异面直线及其所成的角(异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系),还要掌握空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则)的相关知识才是答题的关键.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人,1 000人,为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下:
甲校:
分组 | [70,80) | [80,90) | [90,100) | [100,110) |
频数 | 3 | 4 | 8 | 15 |
分组 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150] |
频数 | 15 | x | 3 | 2 |
乙校:
分组 | [70,80) | [80,90) | [90,100) | [100,110) |
频数 | 1 | 2 | 8 | 9 |
分组 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150] |
频数 | 10 | 10 | y | 3 |
则x,y的值分别为( )
(A)、12,7 (B)、 10,7 (C)、 10,8 (D)、 11,9
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆 (a>b>0)的右焦点F(1,0),离心率为 ,过F作两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:直线MN必过定点,并求出此定点坐标;
(3)若弦AB,CD的斜率均存在,求△FMN面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知如图:平行四边形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.
(1)求证:GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,DB=4 ,求四棱锥F﹣ABCD的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校为了解学校食堂的服务情况,随机调查了50名就餐的教师和学生.根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分,绘制出了频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组为[40,50),[50,60),…,[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)从评分在[40,60)的师生中,随机抽取2人,求此人中恰好有1人评分在[40,50)上的概率;
(3)学校规定:师生对食堂服务质量的评分不得低于75分,否则将进行内部整顿,试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分,并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.
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