Question

已知点P为抛物线y²=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（6，5），则|PA|+|PM|的最小值是（　　）

• A、8
• B、7
• C、5

  2

• D、5

  2

  -1

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为P到准线与P到A点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，进而推断出P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，利用两点间距离公式求得|FA|，则|PA|+|PM|可求．

解答： 解：依题意可知，抛物线焦点为（0，1），准线方程为y=-1
只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值

p

2

=1不会影响讨论结果），
由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，
此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可（F为曲线焦点），
显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，
由两点间距离公式得|FA|=

(6-1)2+52

=5

2

，
那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|-

p

2

=5

2

-1
故选：D．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析推理能力．