Question

甲、乙、丙三人玩游戏，规定每次在写有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，若数字为1或2或3，则甲得1分；若数字为4或5，则乙得1分；若数字为6，则丙得1分．一共抽取3次，得2分或3分者获胜．
（Ⅰ）求乙获胜的概率；
（Ⅱ）记ξ为甲得的分数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）乙获胜有下列三种情况：①乙3分；②乙2分，丙1分；③乙2分，甲1分．这三种情况是互斥的，根据独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率公式得到结果．
（II）ξ为甲得的分数，ξ的取值可以为0，1，2，3，结合变量对应的事件，利用独立重复试验概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列和期望值．

解答：解：（Ⅰ）乙获胜有下列三种情况：①乙3分；②乙2分，丙1分；
③乙2分，甲1分．这三种情况是互斥的，
∴乙获胜的概率
P=(

1

3

)3+

C

2 3

×(

1

3

)2×

1

6

+

C

2 3

 ×  (

1

3

)2×

1

2

=

7

27

．
（Ⅱ）ξ为甲得的分数，ξ的取值可以为0，1，2，3
∴P(ξ=3)=(

1

2

)3=

1

8

；
P=(ξ=2)

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

6

+(

1

2

)2×

1

3

×

C

3 2

=

1

8

+

1

4

=

3

8

；
P=(ξ=1)

A

3 3

×(

1

2

)×

1

6

×(

1

3

)2×

1

2

+

C

3 2

(

1

6

)2×

1

2

=

3

8

；
P=(ξ=0)=(

1

6

)3×(

1

3

)3+

C

3 2

(

1

3

)2×

1

6

+

C

3 2

(

1

6

)2×

1

3

=

1

8

．
∴ξ的概率分布列：

∴Eξ=

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验，考查互斥事件的概率加法公式，是一个综合题目，这种题目可以作为高考卷中的解答题．