分析 (1)先求出函数g(x)的导数,根据x的范围,确定导函数的符号,从而求出函数的单调区间;
(2)问题转化为1+2a<$\frac{{x}^{2}}{lnx}$在x∈(1,+∞)上恒成立,令h(x)=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$(x>1),通过求导得到函数h(x)的最小值,进而求出a的范围.
解答 解:(1)当a=1时,g(x)=x2-2lnx,x∈[1,2],
∴g′(x)=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2}{x}$,
因为x∈[1,2],所以g′(x)≥0,
所以g(x)在区间[1,2]上单调递增,即x=1时,g(x)min=g(1)=1,
(2)要使得f(x)<g(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,
即lnx<x2-2alnx在x∈(1,+∞)上恒成立,
亦即1+2a<$\frac{{x}^{2}}{lnx}$在x∈(1,+∞)上恒成立,
令h(x)=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$(x>1),则h′(x)=$\frac{2x•lnx-x}{{(lnx)}^{2}}$,
当x∈(1,$\sqrt{e}$)时,2xlnx-x<0,h′(x)<0,
即h(x)在(1,$\sqrt{e}$)上为单调递减函数;
当x∈($\sqrt{e}$,+∞)时,2xlnx-x>0,h′(x)>0,
即h(x)在($\sqrt{e}$,+∞)上为单调递增函数,
因此h(x)min=h($\sqrt{e}$)=2e,
所以要使得 1+2a<$\frac{{x}^{2}}{lnx}$在x∈(1,+∞)上恒成立,
就有1+2a<h(x)min=2e,
∴a<e-$\frac{1}{2}$,
∴a<e-$\frac{1}{2}$时,f(x)<g(x)在x∈(1,+∞)上恒成立.
点评 不同考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,函数恒成立问题,是一道中档题.
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A. | 这个推理的形式错误 | B. | 这个推理的大前提错误 | ||
C. | 这个推理的小前提错误 | D. | 这个推理正确 |
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A. | {x|-1<x<3} | B. | {x|0<x<3} | C. | {x|x>-1} | D. | {x|x<3} |
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A. | (x-2)2+(y+1)2=9 | B. | (x+2)2+(y-1)2=9 | C. | (x-2)2+(y+1)2=25 | D. | (x+2)2+(y-1)2=25 |
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