Question

10．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²-2af（x）（a∈R且a≠0）．
（1）若a=1，求函数g（x）在区间[1，2]上的最小值；
（2）若f（x）＜g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数g（x）的导数，根据x的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为1+2a＜$\frac{{x}^{2}}{lnx}$在x∈（1，+∞）上恒成立，令h（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$（x＞1），通过求导得到函数h（x）的最小值，进而求出a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，g（x）=x²-2lnx，x∈[1，2]，
∴g′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2}{x}$，
因为x∈[1，2]，所以g′（x）≥0，
所以g（x）在区间[1，2]上单调递增，即x=1时，g（x）_min=g（1）=1，
（2）要使得f（x）＜g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即lnx＜x²-2alnx在x∈（1，+∞）上恒成立，
亦即1+2a＜$\frac{{x}^{2}}{lnx}$在x∈（1，+∞）上恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$（x＞1），则h′（x）=$\frac{2x•lnx-x}{{（lnx）}^{2}}$，
当x∈（1，$\sqrt{e}$）时，2xlnx-x＜0，h′（x）＜0，
即h（x）在（1，$\sqrt{e}$）上为单调递减函数；
当x∈（$\sqrt{e}$，+∞）时，2xlnx-x＞0，h′（x）＞0，
即h（x）在（$\sqrt{e}$，+∞）上为单调递增函数，
因此h（x）_min=h（$\sqrt{e}$）=2e，
所以要使得 1+2a＜$\frac{{x}^{2}}{lnx}$在x∈（1，+∞）上恒成立，
就有1+2a＜h（x）_min=2e，
∴a＜e-$\frac{1}{2}$，
∴a＜e-$\frac{1}{2}$时，f（x）＜g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立．

点评 不同考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．