【题目】设函数(
为自然对数的底数,
).
(1)当时,求函数
的图象在
处的切线方程;
(2)若函数在区间
上具有单调性,求
的取值范围;
(3)若函数有且仅有
个不同的零点
,且
,
,求证:
.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析
【解析】
(1)根据,对函数求导,求出
,
,进而可得切线方程;
(2)先对函数求导,得到,分别讨论函数
在区间
上单调递增,函数
在区间
上单调递减,两种情况,即可求出参数范围;
(3)先由题意,得到有且仅有两个不等于
的不同零点,设
,对函数求导,得出
的单调性,推出
有且仅有两个不等实数根,且一个根小于
,一个根大于
,再由题意,得到
,
为
的两个不等实数根,推出
,设
,
,
,对其求导,研究其单调性,进而可得出结果.
解:(1)当时,
,
,
,
,
故的图象在
处的切线方程为
,即
.
(2)因为,
①若函数在区间
上单调递增,则
恒成立,得
恒成立,
∵,∴
,所以
;
②若函数在区间
上单调递减,则
恒成立,得
恒成立,
∵,∴
,所以
;
综上,的取值范围为
.
(3)函数的零点即为方程
的实数根,
故或
,由
,得
,
∴有且仅有两个不等于
的不同零点,
由,得
,设
,
则,由
,得
;由
,得
.
故在
上单调递增,在
上单调递减,
故有且仅有两个不等实数根,且一个根小于
,一个根大于
,
∵有且仅有
个不同的零点
,
,
∴,
为
的两个不等实数根,
∴,
,两式相减,得
,∴
,
两式相加,得,
设,由
且
,得
,
,
设,
,
则,设
,
,则
,
设,
,则
在
上恒成立,
∴在
上单调递增,∴
在
上恒成立,
则在
上恒成立,∴
在
上单调递增,
∴在
上恒成立,则
在
上恒成立,∴
在
上单调递增,
所以,,
,即
.
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【题目】如图1是淋浴房示意图,它的底座是由正方形截去一角得到,这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的圆弧(如图2).现已知正方形的边长是1米,设该底座的面积为S平方米,周长为l米(周长是指图2中实线部分),圆的半径为r米.设计的理想要求是面积S尽可能大,周长l尽可能小,但显然S、l都是关于r的减函数,于是设
,当
的值越大,满意度就越高.试问r为何值时,该淋浴房底座的满意度最高?(解答时π以3代入运算)
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【题目】作家马伯庸小说《长安十二时辰》中,靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中,望楼传递信息的方式有一种如下:如图所示,在九宫格中,每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换,从而一共可以有512种不同的颜色组合,即代表512种不同的信息.现要求每一行,每一列上至多有一个紫色小方格(如图所示即满足要求).则一共可以传递______种信息.(用数字作答)
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求C1的极坐标方程;
(2)若C1与曲线C2:ρ=2sinθ交于A,B两点,求|OA||OB|的值.
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,焦距为
.
(1)求的方程;
(2)若斜率为的直线
与椭圆
交于
,
两点(点
,
均在第一象限),
为坐标原点.
①证明:直线的斜率依次成等比数列.
②若与
关于
轴对称,证明:
.
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【题目】火箭少女101的新曲《卡路里》受到了广大听众的追捧,歌词积极向上的体现了人们对于健康以及完美身材的渴望.据有关数据显示,成年男子的体脂率在14%-25%之间.几年前小王重度肥胖,在专业健身训练后,身材不仅恢复正常,且走上美体路线.通过整理得到如下数据及散点图.
健身年数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
体脂率 | 32 | 20 | 12 | 8 | 6.4 | 4.4 |
3.4 | 3 | 2.5 | 2.1 | 1.9 | 1.5 |
(1)根据散点图判断,与
哪一个模型更适宜作为体脂率关于健身年数的回归方程模型(给出选择即可)
(2)根据(1)的判断结果与题目中所给数据,建立与
的回归方程.(保留一位小数)
(3)再坚持3年,体脂率可达到多少.
参考公式:
参考数据:
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【题目】如图,在三梭柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,E,F分别为AB,A1B1的中点.
(1)求证:AF∥平面B1CE;
(2)若A1B1⊥,求证:平面B1CE⊥平面ABC.
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【题目】在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品。从这10件产品中任取3件,求:
(I) 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;
(II) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。
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【题目】某品牌电脑体验店预计全年购入台电脑,已知该品牌电脑的进价为
元/台,为节约资金决定分批购入,若每批都购入
(
为正整数)台,且每批需付运费
元,储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为
),若每批购入
台,则全年需付运费和保管费
元.
(1)记全年所付运费和保管费之和为元,求
关于
的函数.
(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少,则每批应购入电脑多少台?
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