Question

如图，在由圆O：x²+y²=1和椭圆C：

x2

a2

+y2=1（a＞1）构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为

6

3

，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得

OA

•

OB

=

1

2

OM

2，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆C：

x2

a2

+y2=1（a＞1）的离心率为

6

3

，可得a²=3，从而可求椭圆C的方程；
（2）假设存在直线l，使得

OA

•

OB

=

1

2

OM

2，当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y=kx+b，由直线l与圆O相切，可得b²=k²+1，直线l代入椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1，可得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），进而利用

OA

•

OB

=

1

2

OM

2，即可知存在直线l．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+y2=1（a＞1）的离心率为

6

3

，
∴e=

a2-1

a

=

6

3

解得：a²=3，所以所求椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1         （5分）
（2）假设存在直线l，使得

OA

•

OB

=

1

2

OM

2，
当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y=kx+b，
由直线l与圆O相切，可得b²=k²+1 …（1）（7分）
直线ly=kx+b代入椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1，可得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x1+x2=-

6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-3

1+3k2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1 +x2)+b2=

4b2-3k2-3

1+3k2

=

1

2

…（2）
由（1）（2）可得k²=1，b²=2
故存在直线l，方程为y=±x±

2

，使得

OA

•

OB

=

1

2

OM

2．

点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，同时考查了存在性问题，合理运用向量的数量积运算是解题的关键．