Question

已知函数，且该函数图象相邻两对称轴间的距离为．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若不等式成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵函数 =sinωx+cosωx+cosωx+sinωx
=（sinωx+cosωx）= sin（ωx+）．
∵该函数图象相邻两对称轴间的距离为，∴函数f（x）的最小正周期为π，
即 =π，ω=2，f（x）= sin（2x+）．
（II）∵不等式成立，∴ sin（2m+）≥，
∵sin（2x+）≥．
∴2kπ-≤2m+）≤2kπ+，k∈z．解得 kπ-≤m≤kπ+，k∈z．
故实数m的取值范围为[kπ-，kπ+]k∈z．
分析：（I）化简函数f（x）的解析式为 sin（ωx+），由该函数图象相邻两对称轴间的距离为，可得函数f（x）的最小正周期为π，由此求得ω=2．
（II）由不等式可得sin（2x+）≥，故有 2kπ-≤2m+）≤2kπ+，k∈z．由此解得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合函数的单调性，解三角不等式，属于中档题．