Question

8．已知函数f（x）=xe^ax+lnx-e，（a∈R）
（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）设g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-e，若函数h（x）=f（x）-g（x）在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线的方程；
（2）由题意可得xe^ax=$\frac{1}{x}$，即有-$\frac{1}{2}$a=$\frac{lnx}{x}$在x＞0时有两个不等的实数根，令m（x）=$\frac{lnx}{x}$，求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=xe^x+lnx-e的导数为f′（x）=xe^x+e^x+$\frac{1}{x}$，
即有函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=2e+1，切点为（1，0），
则有函数y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y-0=（2e+1）（x-1），
即为y=（2e+1）x-2e-1；
（2）函数h（x）=f（x）-g（x）=xe^ax-$\frac{1}{x}$，
函数h（x）在定义域内存在两个零点，即为
xe^ax=$\frac{1}{x}$在x＞0有两个不等的实数根，
即有-$\frac{1}{2}$a=$\frac{lnx}{x}$在x＞0时有两个不等的实数根，
令m（x）=$\frac{lnx}{x}$，则导数m′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞e时，m′（x）＜0，m（x）递减；
当0＜x＜e时，m′（x）＞0，m（x）递增．
即有x=e处取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$，
则有0＜-$\frac{1}{2}$a＜$\frac{1}{e}$，
解得-$\frac{2}{e}$＜a＜0．
故实数a的取值范围是（-$\frac{2}{e}$，0）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，注意运用参数分离和构造函数，运用导数求得单调区间，属于中档题．