Question

（文科）点M是圆x²+y²=4上的一个动点，过点M作MD垂直于x轴，垂足为D，P为线段MD的中点．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，若直线l：y=-ex+m（其中e为曲线C的离心率）与曲线C有两个不同的交点A与B且

OA

•

OB

=2（其中O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

分析：（1）由题意点M是圆x²+y²=4上的一个动点，过点M作MD垂直于x轴，垂足为D，P为线段MD的中点，可得点M的坐标与点P的坐标的关系，用中点P的坐标表示出点M的坐标，然后再代入圆的方程求出点P的轨迹方程
（2）由点P的轨迹是椭圆x²+4y²=4，知e=

3

2

．由直线l：y=-

3

2

x+m与曲线C：x²+4y²=4有两个不同的交点A与B，知x2-

3

mx+m2-1=0有两个解，所以-2＜m＜2．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

3

m，x₁x₂=m²-1，由

OA

•

OB

=2，知x₁x₂+y₁y₂=2，由此能求出m．

解答：解：（1）由题意，令P（x，y），
则由中点坐标公式知：D（x，0），M（x，2y），
∵点M是圆x²+y²=4上的一个动点，
∴点P的轨迹方程为x²+4y²=4．
（2）由（1）点P的轨迹是椭圆x²+4y²=4，
∴e=

3

2

．
∵直线l：y=-

3

2

x+m与曲线C：x²+4y²=4有两个不同的交点A与B，
∴

y=- 3 2 x+m x2+4y2=4

⇒x2-

3

mx+m2-1=0有两个解，
∴△=-m²+4＞0，∴-2＜m＜2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

3

m，x₁x₂=m²-1，
∵

OA

•

OB

=2（其中O为坐标原点），
∴x₁x₂+y₁y₂=2，
∴5m²=7，∴m=±

35

5

．

点评：本题考查直线与圆方程的应用，解答本题关键点有二，一是熟练掌握代入法求轨迹方程，二是合理进行等价转化．本题考查了推理判断的能力及代入法求轨迹方程技巧．