Question

已知函数f(x)=

ax

x2+b

，在x=1处取得极值为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上为增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l与f(x)=

ax

x2+b

图象相切于点P（x₀，y₀），求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由已知函数求其导数，再根据函数f（x）在x=1处取得极值2，列出关于a，b的方程即可求得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）先由f′（x）＞0，得f（x）的单调增区间为（-1，1）．再根据函数f（x）在（m，2m+1）上单调递增，列出关于m的不等关系解之即得；
（Ⅲ）根据导数和几何意义直线l的斜率的表达式，再利用二次函数的最值的求法即可求得直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）已知函数f(x)=

ax

x2+b

，∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．（2分）
又函数f（x）在x=1处取得极值2，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

?

a=4 b=1

∴f(x)=

4x

x2+1

．（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4-4x2

(x2+1)2

．
由f′（x）＞0，得4-4x²＞0，即-1＜x＜1，
所以f(x)=

4x

x2+1

的单调增区间为（-1，1）．（6分）
因函数f（x）在（m，2m+1）上单调递增，则有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

解得-1＜m≤0，
即m∈（-1，0]时，函数f（x）在（m，2m+1）上为增函数．（9分）
（Ⅲ）∵f′(x)=

4-4x2

(x2+1)2

，
∴直线l的斜率为k=f′(x0)=

4-4x02

(x02+1)2

=4[

2

(x02+1)2

-

1

x02+1

]（11分）
令

1

x02+1

=t，t∈(0，1)，则直线l的斜率k=4（2t²-t）（t∈（0，1）
∴k∈[-

1

2

，4]，即直线l的斜率k的取值范围是[-

1

2

，4]（14分）
[或者由k=f（x₀）转化为关于x₀²的方程，根据该方程有非负根求解]．

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数解析式的求解及常用方法、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．