Question

已知圆C过点P（1，1），且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于x+y+2=0对称．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点（

2

，2）作圆C的切线，求切线的方程；
（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与圆C相交A，B两点，设直线PA和直线PB的斜率分别为k，-k，O为坐标原点，试判断直线OP和直线AB是否平行？请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设圆心C（a，b），则点C与圆M的圆心M（-2，-2）关于直线x+y+2=0对称．可得

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解出可得a，b，利用r=|CP|即可；
（II）当切线的斜率存在时，设切线方程为y=k(x-

2

)+2，利用圆心C到切线的距离d=r可得

|2- 2 k|

1+k2

=

2

，解得k即可；
当切线的斜率不存在时，切线存在且方程为x=

2

．
（III）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数．则直线PA的方程为：y-1=k（x-1），直线PB的方程为：y-1=-k（x-1），
分别与⊙C的方程联立可得x_A，x_B，利用向量计算公式可得k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(xB+xA)

xB-xA

与比较k_OP=1即可．

解答：解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），则点C与圆M的圆心M（-2，-2）关于直线x+y+2=0对称．
则

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得

a=0 b=0

，
则圆C的方程为x²+y²=r²，将点P的坐标代入得r²=2，
故圆C的方程为x²+y²=2．
（Ⅱ）当切线的斜率存在时，设切线方程为y=k(x-

2

)+2，则

|2- 2 k|

1+k2

=

2

，解得k=

2

4

，
∴切线方程为y=

2

4

x+

3

2

，
当切线的斜率不存在时，切线方程为x=

2

，
∴切线的方程为y=

2

4

x+

3

2

或x=

2

．
（Ⅲ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
则直线PA的方程为：y-1=k（x-1），直线PB的方程为：y-1=-k（x-1），
由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0，
∵点P的横坐标1一定是该方程的解，故可得xA=

k2-2k-1

1+k2

，
同理，x_B=

k2+2k-1

1+k2

，
∴x_A+x_B=

2k2-2

1+k2

，xB-xA=

4k

1+k2

．
∴k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(xB+xA)

xB-xA

=1=k_OP，
∴直线AB和OP一定平行．

点评：本题综合考查了直线与圆的位置关系、相切转化为圆心到切线的距离等于半径、相交转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式、点到直线的距离公式、点关于直线对称等基础知识与基本技能方法，属于难题．