Question

15．若?x∈（0，+∞），不等式ax-lnx＞0恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$]
• B． （-∞，e]
• C． $（{\frac{1}{e}，+∞}）$
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 若?x∈（0，+∞），不等式ax-lnx＞0恒成立，则a＞$\frac{lnx}{x}$恒成立，令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，利用导数法研究其最值，可得答案．

解答 解：若?x∈（0，+∞），不等式ax-lnx＞0恒成立，
则a＞$\frac{lnx}{x}$恒成立，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
故当x=e时，f（x）=$\frac{lnx}{x}$取最大值$\frac{1}{e}$．
故a∈$（{\frac{1}{e}，+∞}）$．
故选：C

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，复合命题，充要条件，特称命题，难度中档．