[题目]2020年春节期间.武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情.在党中央的坚强领导下.全国人民团结一心.众志成城.共同抗击疫情.某中学寒假开学后.为了普及传染病知识.增强学生的防范意识.提高自身保护能力.校委会在全校学生范围内.组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分).竞赛奖励规则如下.得分在内的学生获三等奖.得分在内的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】2020年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情.某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.

（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；

（2）若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：

(i)若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到整数)；

(ii)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值.

附：若随机变量服从正态分布，则，，.

【答案】（1）（2）(i)(ii)详见解析

【解析】

（1）由样本频率分布直方图得，有30人获奖，70人没有获奖，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，利用组合数公式求出总的基本事件数和事件包含的基本事件数，代入古典概型概率计算公式即可求解；

（2）利用频率分布直方图中的数据，代入平均数公式求出平均数的估计值，利用正态分布曲线的对称性求出的概率，即可估计参赛学生中成绩超过79分的学生数；利用正态分布的性质和二项分布的概率和期望公式求出随机变量的分布列和均值即可.

（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，

获三等奖的16人，所以有30人获奖，70人没有获奖，

从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，

设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，

则事件包含的基本事件的个数为，

由古典概型概率计算公式可得，，

所以抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率.

（2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，所有参赛学生的成绩近似服从正态分布.

（i）因为，所以，

参赛学生中成绩超过79分的学生数约为.

（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，竞赛成绩在64分以上的概率为，所以随机变量服从二项分布.

随机变量的所有可能取得的值为0，1，2，3.

，

随机变量的分布列为

	0	1	2	3

所以.

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