Question

【题目】如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点.

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：BE⊥平面PAC.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）证明四边形是平行四边形，可得是的中点，利用为线段的中点，可得，从而可证平面；

（2）证明，即可证明平面.

试题解析：

(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.

由于E为AD的中点，

AB＝BC＝AD，AD∥BC，

∴AE∥BC，AE＝AB＝BC，

因此四边形ABCE为菱形，

∴O为AC的中点.

又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.

又OF平面BEF，AP平面BEF.

∴AP∥平面BEF.

(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.

∴四边形BCDE为平行四边形，

因此BE∥CD.

又AP⊥平面PCD，

∴AP⊥CD，

因此AP⊥BE.

∵四边形ABCE为菱形，

∴BE⊥AC.

又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，

∴BE⊥平面PAC.